有限元分析一定可以得到问题的精确解吗？

理论上可以证明，如果插值函数使用了“协调和完整的位移函数”，则当网格尺寸逐渐减小而单元数量增加时，解就会单调收敛。

而且，当单元数目增加时，得到的刚度会降低，并收敛于真实刚度；这就意味着，当单元增加时，得到的位移增加，而收敛于精确位移解。其图形如下：

这里所说的“协调和完整位移函数”，是指：

1.近似函数式一般是多项式。

2.近似函数在单元内要保持连续。

3.近似函数应提供单元间的连续性，包括离散单元每一个节点所有自由度都应该是连续的，二维单元和三维单元沿着公共边界线和公共面必须是连续的。

既能够保证单元内的连续，又能够保证单元间的连续的形函数称为协调函数。

4.近似函数应考虑刚体位移和单元内的常应变状态。即有常数项保证刚体运动（无应变的运动），而有一次项保证有常应变状态发生。这是形函数的完整性问题。

例如，对于一维单元而言，若取形函数

则同时满足上面四个条件，称为协调且完整的位移函数。

一般来说，我们所用的单元使用的位移函数都满足上述四个条件，所以从理论上来说，只要网格加密，就可以收敛于真实解。

为了验证上述理论的真实性，我们选用了一个材料力学中的例子来做仿真。

该例子如下

使用材料力学的理论进行求解，简要过程如下

使用ANSYS进行分析，使用BEAM188单元，首先创建如图所示的几何模型。

然后分别对各段直线加密网格划分，得到的结果如下

上表中，第一列是划分的单元数，第二列是最大的压应力，第三列是最大的拉应力。可以看到，随着单元数目的增加，最大拉伸，压缩应力的绝对值都在增加。

从材料力学得到的精确解，最大的压应力是-46.2MPa, 最大的拉应力是28.8MPa。这样，当单元数增加到64个时，压应力的误差是（46.2-45.7）/46.2 =1.1%; 拉应力的精度是（28.8-28.6)/28.8=0.7%.此时精度已经相当高了。

可以明显的看出，随着单元数目的增加，应力解的确是在逐渐逼近真实解。从这个方面来说，加密网格的确是提高计算精度的有效方法。

这也意味着，我们在有限元仿真中，如果要得到精确的结果，必须不断细分网格，直到结果收敛。否则，我们的得到结果就是不可信的。

那么，对于任意的几何模型，网格细分就一定能够得到真实解吗？这是每一个CAE分析工程师都关注的问题。

如果结构中没有应力集中，答案是肯定的。

如果结构中存在应力集中，则结果未必会收敛。

为了说明这一点，我们选取了一个平面应力问题。它是一个角支座，其图形及尺寸如下。在角支座上钻了两个孔，现在我们固定左上边的孔，而在右下方孔的第四象限半圆上施加压力。并通过不断的加密网格来考虑计算结果的可信性。

生成的有限元模型如下

固定左上边的孔，并对右下方孔施加右下方向的压力，当单元尺寸取5mm时候，应力云图如下

可见，此时最大应力发生在拐角处，是34.383MPa

单元尺寸全局细分到3mm，结果是

最大应力是44.44MPa

单元尺寸全局细分到1mm，结果是

最大应力是74.004MPa

单元尺寸全局细分到0.4mm，结果是

最大应力是112.873MPa

可见，结果并没有收敛的趋势。

如果我们进一步细分网格，会发现数据无限增大，不会收敛。

实际上，理论证明，在该拐角处如果是直角，而没有倒圆角的话，应力集中系数会趋向无穷大，所以在实践设计中绝对禁止出现这种直角。

这也意味着，如果我们在有限元分析前进行模型简化时，绝不可轻易将一些倒角随便删除，否则会出现奇怪的结果。

转自《ANSYS学习与应用》微信公众平台，微信公众号：use_ansys