1 谐响应分析介绍

谐响应分析主要用于确定线性结构承受随时间按正弦规律变化的载荷时的稳态响应。

谐响应分析主要采用缩减法（Reduced）、模态叠加法（Mode Superposition）、完全法(Full）。完全法是软件的默认方法，是3种方法中最容易使用的方法。它采用完整的系数矩阵计算谐响应，不涉及质量矩阵的近似，不必关心如何选取主自由度或振型。系数矩阵可以是对称的，也可以是不对称的。其缺点是预应力选项不可用，有时计算量比较大。缩减法通过采用主自由度和缩减矩阵来压缩问题的规模。主自由度处的位移计算出来后，其解可以被扩展到初始的完整DOF集上。该方法可以考虑预应力效果，但不能施加单元载荷，所有载荷必须施加在用户定义的主自由度上。模态叠加法通过对模态分析得到的振型乘以因子并求和来计算结构的响应。对许多问题，其计算量比前两种方法都少。该方法可以考虑预应力效果，允许考虑阻尼。但不能施加非零位移。

谐响应分析是线性分析，会忽略掉所有非线性特性。另外还要求所有载荷必须具有相同的频率。

2 Ansys谐响应分析步骤

谐响应分析包括建模、施加载荷和求解、查看结果等几个步骤。

2.1 建模

谐响应分析的建模过程与其他分析相似，包括定义单元类型、定义单元实常数、定义材料特性、建立几何模型和划分网格等。在材料特性中必须定义材料的弹性模量和密度。

2.2 施加载荷和求解

根据谐响应分析的定义，施加的所有载荷都随时间按正弦规律变化，指定一个完整的正弦载荷需要确定3个参数：幅值、相位角、载荷频率范围或者实部、虚部和载荷频率范围。具体分析步骤如下：

（1）指定分析类型为Harmonic；

（2）指定分析选项，在Analysis Options中选择求解方法；

（3）如果使用缩减法则需要定义主自由度；

（4）施加约束：在Structural->Displacement中施加约束；

（5）施加载荷：在Structural中施加载荷，可以按实部/虚部或者幅值/相位角两种方法定义载荷；

（6）指定激振频率范围：Main Menu->Solution->Load Step Opts->Time/Frequenc->Freq and Substps；

（7）求解。

2.3 查看结果

分析计算得到的所有结果也都是按正弦规律变化的。可以用POST26或POST1查看结果。通常的处理顺序是首先用POST26找到临界频率，然后用POST1在临界频率处查看整个模型。POST26用结果频率对应关系表即变量查看结果，1号变量被软件内定为频率。

3 单自由度系统谐响应分析实例

3.1 问题描述

如下图所示单自由度系统，质量m=1kg，弹簧刚度k=10000N/m，阻尼系数c=63N·s/m，激振力f=Fsin(wt)，F=2000N，w为激振频率。

3.2 解析解

根据理论力学，系统的固有频率为

fn=sqrt(k/m)/(2*pi)=15.9Hz

系统的固有角频率为

Wn=sqrt(k/m)=100rad/s

阻尼比为

s=c/(2*sqrt(mk))=0.315

因此，可求得系统的共振频率为

fr=fn*sqrt(1-2*s^2)=14.2Hz

共振幅值为

Br=F/(c*Wn)=0.317m

3.3 Ansys有限元求解

3.3.1 建模

质量单元选择3D mass 21，弹性单元选择Spring-damper 14。定义MASS21中的MASSX常数为1，定义COMBIN14中的K常数为10000，CV1常数为63.所建单元模型如下图所示，直线为1个单位的弹性单元，节点2为质量单元。

3.3.2 施加约束

约束节点1的6个自由度，节点2仅保留X方向的位移自由度，约束其它5个自由度。指定分析类型为Harmonic，指定频率范围为0到50Hz，共分为25个频率点，如下图所示。对节点2施加一个X方向的2000N的初始常量力。

3.3.3 求解结果分析

通过POST26后处理，查看力与频率的关系，得到振幅-频率关系曲线如下图所示：

从图中可以看出系统的最大共振幅值为0.335m，对应的共振频率为14Hz。与解析求解结果基本一致。

附：建模求解命令流

/PREP7  
ET,1,MASS21  
ET,2,COMBIN14   
R,1,1, , , , , ,
R,2,10000,63, , , , ,    
K,1,0,0,0,  
K,2,1,0,0,  
LSTR,       1,       2  
CM,_Y,LINE  
LSEL, , , ,       1 
CM,_Y1,LINE 
CMSEL,S,_Y  
CMSEL,S,_Y1 
LATT, ,2,2, , , ,   
CMSEL,S,_Y  
CMDELE,_Y   
CMDELE,_Y1  
FLST,5,1,4,ORDE,1   
FITEM,5,1   
CM,_Y,LINE  
LSEL, , , ,P51X 
CM,_Y1,LINE 
CMSEL,,_Y   
LESIZE,_Y1, , ,1, , , , ,1  
LMESH,       1  
E,       2  
FINISH

/SOL
FLST,2,1,1,ORDE,1   
FITEM,2,1   
D,P51X, , , , , ,ALL, , , , ,   
FLST,2,1,1,ORDE,1   
FITEM,2,2   
FLST,2,1,1,ORDE,1   
FITEM,2,2   
D,P51X, , , , , ,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ,  
ANTYPE,3
HARFRQ,0,50,
NSUBST,25,  
KBC,1   
FLST,2,1,1,ORDE,1   
FITEM,2,2   
F,P51X,FX,2000, 
SOLVE   
FINISH

/POST26  
NSOL,2,2,U,X,Dispx  
PLVAR,2, , , , , , , , , ,  
FINISH

参考文献：

高耀东等主编《Ansys机械工程应用25例》，北京：电子工业出版社，2007.3