在进行有限元数值分析时有时候会遇到计算结果与理论分析不一致，或者计算结果不合理的情况，虽然也选择了合理的单元类型和材料本构模型，但得到的结果却就是无法解释，这时候可能就需要考虑所选用的单元插值函数是否合理了。这里来解释一下有限元数值分析中剪切锁定出现的原理及处理方法。

一、剪切锁定的概念
以受弯曲变形的梁来做为分析对象，在材料力学中有这样的假定，梁在受弯矩作用下发生纯弯曲变形时，变形前后平行于中截面的面仍然保持相互平行，且在变形前与中截面垂直的面在变形后仍然与中截面保持垂直。从连续梁中取一微小微元体分析，变形前后的图形示意如下图所示：

从上图中可以看出，在受到弯矩作用下，梁顶面受拉而伸长为水平拉应力，底面受压而缩短为水平压应力，在变形前后竖直方向各线段长度不变，即竖直方向就没有应变，也就没有应力；此外，水平线与竖直线在变形前后仍然垂直，也就没有剪切变形，剪应力为0，这解释了材料力学的假定。需要注意一个重要现象就是受拉压的上下边界在变形后是弯曲的弧线。

当用有限元对连续介质进行分析时，需要把连续介质离散为很多小单元和结点，当选取单元型式为线性单元时，每个边由两个结点构成，单元在变形前后边仍然保持为直线。假如以四结点四边形单元为例，受纯弯荷载之后变形情况如下图所示。

从上图可以看出（图中虚线可以理解为通过高斯积分点的线），变形之后水平线仍然保持平行，水平线上面受拉应力而拉伸，下面受压应力而压缩。由于变形之后边界仍然要保持直线，竖直线与水平线不再保持垂直，而是有了增大或减小，这说明产生了剪切变形，而这个剪应变是不应该出现的，由于这个剪切变形要消耗一定的变形能，这就会导致梁不能再发生弯曲或者弯曲变形要小了，产生的弯曲绕度也要减小。这种现象就称为剪切锁定现象，通常出现在用常规单元模拟以弯曲变形为主要变形的结构中。这也是为什么我们用平面四结点四边形单元模拟受纯弯或者以弯曲变形为主的构件时计算得到弯曲变形较理论值要小的原因。

二、剪切锁定现象有限元验证

上面对剪切锁定现象做了个解释，那有限元分析中是否真的存在如上分析的剪切锁定呢。来考查一个长1m，截面尺寸为0.1m*0.1m，两端简支的梁，中间受一个集中荷载(F=100kPa)的算例，材料参数：E=1GPa，mu=0.2，结构示意图如下图所示。

此例材料力学是有理论解的：y=pl^3/(48EI)=2.5cm。

这个问题是可以用梁单元直接模拟的，这里为了说明剪切锁定现象，采用平面实体单元来分析。

我们用平面应力问题，采用四结点四边形等参单元来离散，采用不同的网格划分密度进行分析，在长度方向上剖分10份，在厚度方向上分别剖分1份、2份、4份和8份，其中对厚度剖分8份的情况还进行了水平向剖分20份和50份的分析，有限元网格图如下图所示，然后取梁中间最下面一个结点的的竖直向位移与材料力学的理论解进行对比。

对上述不同有限元网格模型进行分析，采用PLANE182单元默认的积分方式（全积分），得到梁中间下面结点的竖直向位移如下表所示，表中ndivX为水平向剖分单元份数，ndivY为梁厚度方向剖分的单元份数。

从上表可以看出，只有当梁采用非常密的网格时才能得到与理论解比较接近的值。这说明：（1）对这种细长结构，采用实体单元进行离散是非常不经济的，而采用线性形状的梁单元只需要很少的单元就能够得到精确的结果；（2）当单元比较少时，由于出现的剪切锁定现象导致计算结果偏小，这是由于剪切锁定消耗了一定的剪切能量，弯曲变形就小了。

通过上面的分析，我们可以看出在用有限元进行分析时，剪切锁定现象的确是存在的。如果我们不去很好的分析结构受力情况，而只是按照教程一步一步的做，然后把这个过程套用到其它研究分析中，可能也计算得到了结果，但很有可能结果就是错误的。因此，一个问题就来了，那剪切锁定现象究竟在什么时候才会存在？通常情况下，所分析问题中是否会有剪力锁闭现象，大概与两个方面有关：一是单元形状有关，当离散后的单元长比与短边之比越大，单元越狭长，就越可能出现剪力锁闭；二是与单元受力有关，在前面一个条件满足时，当单元再承受垂直与长边的荷载（如上面的梁承受法向荷载），使单元的变形以弯曲变形为主，这时出现剪切锁定的可能性就大。如上面的分析中，水平方向分10份时，由于单元都比较狭长，因此，由于剪切锁定的存在导致结果都失真；当水平方向分50份时，单元形状接近正方形，不再是狭长单元，计算结果就接近真值。

参考文献

【1】微信公众号：ANSYS学习与应用