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非线性动力学有限元分析中心差分算法的稳定条件

2019年07月30日 CAE 阅读 549 views 次

用数值积分方法求解系统运动方程时必须考虑解的稳定性条件,解的稳定性是指如果在任何积分时间步长Δt条件下,对于任何初始条件的解不会发生无限制增长,则称此积分算法是无条件稳定的;如果积分时间步长Δt必须小于某个临界步长,上述性质才能保持,则称此积分算法是条件稳定的。中心差分算法是条件稳定的,其稳定条件为:

式中,Tmin是有限元系统的最小固有振动周期。

实际上,并不需要求解整个系统的固有特征值问题以得到Tmin,因为有限元系统的最小固有振动周期Tmin总是大于或者等于最小尺寸单元的最小固有振动周期T(e)min,其结果总是偏于安全的。

有限元系统最小尺寸单元的最小固有振动周期T(e)min为:

式中,lc是最小尺寸单元的最小特征长度,由连续介质力学可知:

式中,E、ρ是材料杨氏模量和质量密度。

这样,中心差分算法解的稳定性条件为:

由此可见,有限元模型中最小尺寸单元将决定中心差分算法的时间步长选择。它的尺寸越小,将使△tcr越小,从而使整个积分步数增多,整个模型求解的计算时间增加。这一点在划分网格模型时一定要注意把握,避免因个别单元尺寸过小而导致计算时间不合理地增加。同时,也不能为了增大△tcr而使单元的尺寸过大,这样将使有限元的解失真。

在有限元显示积分算法中,各个离散时间点处解的积分递推公式如下所示:

中心差分算法是显式算法,K矩阵不出现在递推式的左端,当M是对角阵,C可以忽略或也是对角矩阵,利用递推公式求解运动方程时不需要进行矩阵求逆,仅需要进行矩阵乘法运算以获得方程右端的等效载荷,之后可得到唯一的各个分量。显式算法的这个优点在非线性分析中意义突出,因为非线性分析中,每个增量步的刚度矩阵是被修改的,这时采用显式算法可以避免矩阵求逆运算。

中心差分算法比较适用于有冲击、爆炸类型载荷引起的波传播问题的求解,是由其算法本质决定的。因为当介质的边界或内部某个小的区域受到初始扰动后,是按一定的波速c逐步向介质的内部和周围传播的。如果分析递推式将会发现,当M和C是对角矩阵时,即显式算法时,若给定某些节点初始扰动(即加速度矢量的某些分量为非零值),在经过一个时间步长Δt后,和它们相关的节点(在K中处于同一带宽内的节点)将进入运动,即加速度矢量中和这些节点对应的分量将变成非零项。随着时间的推移,其他节点将依次进入运动。此特点正好和波传递的特点相一致。但从算法方面考虑,为了答案的正确性每一个时间步长Δt中,网格内与新进入计算节点相应的几何区域的扩大应大于波传播范围的扩大(cΔt),所以时间步长要受到限制,即小于临界步长△tcr。当研究高频成分占重要作用的波传播过程时,为了得到有意义的解,必须采用小的时间步长。这也是和中心差分算法的时间步长需要受到临界步长限制的要求相一致的。

参考文献

【1】欧贺国,方献军,洪清泉编著,RADIOSS理论基础与工程应用,北京:机械工业出版社,2013.3

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